Tư duy hàm thể hiện ở sự nhận thức được tiến trình những tương ứng riêng và chung giữa các đối tượng toán học hay những tính chất của chúng (kể cả kĩ năng vận dụng chúng), thể hiện rõ nét tư tưởng lớn trong giáo trình toán học ở trường phổ thông, tư tưởng coi hàm số có vai trò trọng tâm.
I. Khái niệm về tư duy hàm
Tư duy hàm thể hiện ở sự nhận thức được tiến trình những tương ứng riêng và chung giữa các đối tượng toán học hay những tính chất của chúng (kể cả kĩ năng vận dụng chúng), thể hiện rõ nét tư tưởng lớn trong giáo trình toán học ở trường phổ thông, tư tưởng coi hàm số có vai trò trọng tâm.
Hoạt động tư duy hàm là những hoạt động trí tuệ liên quan đến sự diễn đạt sự vật, hiện tượng cùng những quy luật của chúng trong trạng thái biến đổi sinh động của chúng chứ không phải ở trạng thái tĩnh tại, trong sự phụ thuộc lẫn nhau chứ không phải cô lập, tách rời nhau.
Cũng có thể định nghĩa tư duy hàm dưới dạng mô tả bản chất: “Tư duy hàm là các hoạt động trí tuệ liên quan đến sự tương ứng giữa các phần tử của một, hai, hay nhiều tập hợp, phản ánh các mối liên hệ phụ thuộc lẫn nhau giữa các phần tử của tập hợp đó trong sự vận động của chúng.”
Hoặc có một cách định nghĩa khác về tư duy hàm: Tư duy hàm là quá trình nhận thức liên quan đến sự tương ứng, những mối liên hệ phụ thuộc giữa các phần tử của một hay nhiều tập hợp trong sự vận động của chúng.
Các hoạt động đặc trưng của tư duy hàm
Tư duy hàm là một phương thức tư duy được biểu thị bởi việc tiến hành các hoạt động đặc trưng sau:
(1) Hoạt động phát hiện và thiết lập sự tương ứng
Hoạt động phát hiện: là khả năng nhận ra những mối liên hệ tương ứng tồn tại khách quan. Chẳng hạn như mối liên hệ tương ứng giữa độ dài cạnh của hình vuông với diện tích của nó.
Hoạt động thiết lập sự tương ứng: là khả năng tạo ra những sự tương ứng theo quy định chủ quan của mình nhằm tạo sự thuận lợi cho mục đích nào đó.
(2) Hoạt động nghiên cứu sự tương ứng
Hoạt động này nhằm phát hiện những tính chất của những mối liên hệ nào đó. Chẳng hạn, diện tích hình chữ nhật bằng tích độ dài hai cạnh của nó; trong cách hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình chữ nhật có diện tích lớn nhất khi hai cạnh của nó bằng nhau (hay hình chữ nhật trở thành hình vuông).
Hoạt động này bao gồm nhiều phương diện khác nhau nhưng có thể cụ thể hoá thành ba tình huống sau:
Tình huống 1. Xác định giá trị ra khi biết giá trị vào; xác định giá trị vào khi biết giá trị ra; nhận biết quy tắc tổng quát của một mối liên hệ (trong các trường hợp có thể) khi cho biết các cặp phần tử tương ứng của mối liên hệ đó (hay khi cho cặp giá trị vào và giá trị ra); nhận biết tính đơn trị của sự tương ứng.
Tình huống 2. Đánh giá sự biến thiên mong muốn của giá trị ra khi thay đổi giá trị vào; thực hiện một sự biến thiên mong muốn đối với giá ra bằng cách thay đổi giá trị vào; dự đoán sự phụ thuộc.
Tình huống 3. Phát triển và nghiên cứu những bất biến; những trường hợp đặc biệt và những trường hợp suy biến.
(3) Hoạt động lợi dụng sự tương ứng
Từ chỗ nghiên cứu, nắm được tính chất của một sự tương ứng có thể lợi dụng sự tương ứng đó vào một hoạt động nào đó. Chẳng hạn như lợi dụng việc khảo sát sự biến thiên của hàm số để tìm cực trị của hàm số, để giải và biện luận phương trình hay để chứng minh bất đẳng thức.
Ba loại hoạt động này gắn bó chặt chẽ với nhau, hoạt động trước là, tiền đề cho hoạt động sau và hoạt động sau là mục đích, cơ sở hình thành hoạt động trước.
II.Phương pháp tư duy hàm hiệu quả
Tư duy hàm có vai trò quan trọng trong việc giáo dục toán học cho học sinh. Rèn luyện tư duy hàm là rèn luyện cho học sinh những khả năng, những hoạt động sau:
(1) Có khả năng xem xét, nhìn nhận các đối tượng toán học dưới con mắt động, nhìn trong sự vận động, biến đổi.
(2) Phát hiện được sự tương ứng hay những mối liên hệ giữa cá đối tượng, sự kiện toán học trong sự vận động và biến đổi của chúng.
(3) Từ việc tìm hiểu rồi nghiên cứu được những tương ứng hay những mối liên hệ nào đó, ở mức độ cao hơn, có khả năng thể hiện (hay diễn đạt) được nội dung cuả các đối tượng, sự kiện toán học bằng ngôn ngữ hàm.
III. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Bạn Ford đang xây tháp, nhưng lại quên mất tòa cao nhất là số mấy. Em hãy tìm giúp bạn nhé.
Ví dụ 2:
Hình vẽ trên có bao nhiêu quả táo? Nếu chia số quả táo trên thành 3 quả một nhóm thì có bao nhiêu nhóm?
Nếu để ba quả vào 1 đĩa, thì càn bao nhiêu đĩa?
Nếu có tất cả 5 đĩa như trên, thì cần mấy quả táo?
Ví dụ 3: Điền chữ thích hợp vào chỗ trống:
V, W, U, V, T,…, ….
Ví dụ 4: Một bạn viết dãy như sau: 1,1,2,1,1,1,2,1, 1, 1, 2, 1…..
a) Số hạng thứ 44 là chữ số 1 hay chữ số 2?
b) Khi viết đến số hạng thứ 151 thì bạn đã viết bao nhiêu chữ số 1, bao nhiêu chữ số 2 ?